Symmetrie

Ist ein Bauteil samt Lagerung und Belastung spiegelsymmetrisch zu einer Ebene, genügt es, nur eine Hälfte zu rechnen, ohne Informationsverlust. An der Schnittfläche setzen Sie eine Symmetrie-Randbedingung: Die Fläche darf sich nicht aus der Ebene heraus bewegen, kann sich aber frei in der Ebene verschieben. Jede weitere Symmetrieebene halbiert das Modell erneut: zwei Ebenen ergeben ein Viertel, drei ein Achtel, immer nach derselben Regel.

Warum das funktioniert

Wenn sich Geometrie, Werkstoff, Lagerung und Belastung eine Symmetrieebene teilen, muss auch das Ergebnis spiegelsymmetrisch sein. Die weggelassene Hälfte verhält sich dann exakt wie das Spiegelbild der gerechneten: Über die Schnittebene hinweg wird nichts übertragen, was die Symmetrie brechen würde. Sie ersetzen die weggelassene Hälfte durch die richtigen Symmetrie-Randbedingungen an der Schnittfläche; die vollständige Lösung erhalten Sie durch Spiegeln.

Die Randbedingungen an den Schnittflächen

Aus der Spiegelsymmetrie folgt, dass sich kein Punkt der Schnittfläche aus der Ebene heraus bewegen kann: Eine Verschiebung senkrecht zur Ebene würde die Symmetrie brechen, denn die gespiegelte Hälfte würde sich genau entgegengesetzt bewegen. Deshalb sperren wir an der Schnittfläche die Verschiebung senkrecht zur Ebene. In den Richtungen innerhalb der Ebene muss sich das Material dagegen frei verschieben können. Anschaulich wirkt die Symmetrieebene wie eine reibungsfreie Auflage: senkrecht gestützt, längs gleitend.

Wann Symmetrie nicht erlaubt ist

Symmetrie darf nur nutzen, wer sie in allen Zutaten hat: Geometrie, Werkstoff, Lagerung und Belastung müssen dieselbe Ebene spiegeln. Bricht auch nur eine davon die Symmetrie, wird das Ergebnis falsch. Häufigste Falle ist eine symmetrische Geometrie mit einer unsymmetrischen Last, etwa einer Querkraft zur Ebene. Dann liefert die Symmetrie-Randbedingung eine falsche Antwort.

Nutzen

Weniger Elemente bedeuten weniger Rechenzeit und weniger Speicher (siehe Rechenzeit). Eine Ebene halbiert, zwei Ebenen vierteln das Modell, ohne dass Sie Genauigkeit verlieren.

Ein zweiter, oft übersehener Vorteil: Die Symmetrieebenen liefern zugleich eine saubere Lagerung. Weil jede Schnittfläche nur in ihrer Normalrichtung gehalten wird und in der Ebene frei bleibt, entfernt sie die Starrkörperbewegung, ohne die Querkontraktion des Materials zu behindern. So verankern Sie das Bauteil ohne die künstlichen Zwangsspannungen, die eine voll eingespannte Fläche mit sich brächte.

Stolperfallen

Modal- und Knickanalysen: Ein symmetrisches Modell findet nur symmetrische Eigenformen. Antisymmetrische Moden, bei Knickung oft gerade die kritischen, werden dabei übersehen. Rechnen Sie Modal- und Knickanalysen deshalb am vollen Modell, wenn Sie nicht sicher sind, dass die gesuchte Mode symmetrisch ist.

Zu viel gesperrt: An den Symmetrieflächen darf nur die Verschiebung senkrecht zur Ebene gesperrt werden. Sperrt man sie versehentlich in alle Richtungen, unterdrückt man die Querausdehnung, die dort eigentlich frei sein muss. Das Modell wird dadurch nicht unlösbar, sondern zu steif: Es rechnet fehlerfrei durch, liefert aber ein künstlich versteiftes Ergebnis mit überhöhten Spannungen an der Schnittfläche.

Statische Unterbestimmtheit: Symmetrie-Randbedingungen sperren nur die Bewegung senkrecht zur jeweiligen Ebene; innerhalb der Ebene lassen sie Verschiebungen und Drehungen zu. Sie ersetzen deshalb nicht die eigentliche Lagerung. Achten Sie darauf, dass Symmetrieebenen und reale Lager zusammen alle sechs Starrkörperfreiheitsgrade festlegen. Zwei Symmetrieebenen nehmen zum Beispiel fünf davon; den sechsten muss ein reales Lager übernehmen, sonst ist das Gleichungssystem singulär und die Rechnung schlägt fehl.