Konvergenz
Netzkonvergenz und Solver-Konvergenz: wie Sie prüfen, ob Ihr FEM-Ergebnis vertrauenswürdig ist.
Konvergenz ist der Weg, dem FEM-Ergebnis vertrauen zu können. Es gibt zwei getrennte Arten: Netzkonvergenz (ändert sich das Ergebnis noch, wenn ich das Netz verfeinere?) und Solver-Konvergenz (hat der iterative Solver tatsächlich Gleichgewicht gefunden?).
Netzkonvergenz
Die FEM ist eine Näherung. Je gröber das Netz, desto weiter ist das Ergebnis von der exakten Lösung entfernt. Mit zunehmender Netzverfeinerung sollte sich das FEM-Ergebnis der wahren Antwort annähern: Das ist Netzkonvergenz.
Wie Sie eine Konvergenzstudie durchführen
- Mit einem groben Netz beginnen und das Schlüsselergebnis notieren (Spitzenspannung, maximale Verschiebung)
- Netz verfeinern (Elementgröße halbieren) und das Ergebnis erneut notieren
- Wiederholen, bis sich das Ergebnis um weniger als 5 % ändert
- Das ist Ihr konvergiertes Ergebnis
Sie müssen das Netz nicht global verfeinern. Verfeinern Sie nur in den Bereichen, die Sie interessieren, typischerweise dort, wo die Spannung am höchsten ist oder die Geometrie die kleinsten Features aufweist.
Wie Konvergenz aussieht
| Netzgröße | Spitzenspannung (MPa) | | --- | --- | | Grob (5 mm) | 182 | | Mittel (2,5 mm) | 203 | | Fein (1,25 mm) | 208 | | Sehr fein (0,6 mm) | 209 |
Zwischen „fein" und „sehr fein" ändert sich das Ergebnis um weniger als 0,5 %. Beim feinen Netz ist es konvergiert.
Wie Nicht-Konvergenz aussieht
Wenn die Spitzenspannung mit Netzverfeinerung ohne Grenze weiterwächst, liegt eine Singularität vor (siehe Artikel zu Singularitäten). Dieser Spannungswert ist nicht physikalisch: Er wird nie konvergieren.
Solver-Konvergenz
Bei nichtlinearen Analysen (Kontakt, Plastizität, große Verformung) iteriert der Solver, um Gleichgewicht zu finden. Jede Iteration reduziert das Residuum, die Ungleichgewichtskraft zwischen inneren und äußeren Lasten. Der Solver konvergiert, wenn das Residuum unter eine Toleranz fällt.
Anzeichen für Solver-Divergenz
- Das Residuum nimmt von Iteration zu Iteration zu
- Der Solver bricht mit „Konvergenz nicht erreicht" ab
- Unrealistisch große Verschiebungen im Ergebnis
Übliche Abhilfen
- Laststufengröße reduzieren (Last schrittweise aufbringen)
- Netz in Kontakt- oder stark plastifizierten Bereichen verfeinern
- Kontaktgeometrie verbessern (große Spalte reduzieren, scharfe Kanten bereinigen)
- Materialmodellparameter überprüfen (Fließspannung und Verfestigung)
Eine nichtlineare Analyse, die als „konvergiert" gemeldet wird, ist nicht zwangsläufig richtig. Prüfen Sie, dass das Residuum tatsächlich unter der Toleranz liegt und die verformte Gestalt physikalisch Sinn ergibt.
Die 5 %-Regel
Ein häufig genutzter Praxisstandard: Das Ergebnis gilt als konvergiert, wenn zwei aufeinanderfolgende Netzverfeinerungen Ergebnisse innerhalb von 5 % zueinander liefern. Das ist kein formales mathematisches Kriterium, sondern Ingenieursurteil. Für sicherheitskritische Anwendungen eine strengere Toleranz (1–2 %) verwenden.